Talföljder är en modul för att studera talföljder (sekvenser).
Du kan mata in enkla formler (formler i sluten form)) som t.ex. u(n) = 2n + 3
(n är ett heltal) och formler i rekursiv form som t.ex. u(n) = 2u(n-1) + 3. Graferna byggs upp av enskilda punkter som också kan förbindas för att öka tydligheten. Det är också möjligt att plotta s.k. fasdiagram för att se sambandet mellan två talföljder.
Inmatning
För den oberoende variabeln används n eller t. För den beroende variabeln kan du i formeln använda ett ord eller en bokstav. Du kan också välja använda u, v, w, x eller z med knapparna. Det sista sättet är bra att använda om man har formler i rekursiv form. Formlerna blir då u(n)=…. Formeln u(n + 1) = … accepteras inte.
För formler i sluten form, t.ex. u(n) = 2n - 3, matar du in startvärde för den valda variabeln, n eller t. Det finns en inmatningsbox Nmin eller Tmin för att göra detta. För rekursionsformler måste du mata in alla startvärden. Hur många beror på hur rekursionsformeln ser ut. Oftast handlar det om att mata in ett startvärde, t.ex. u(Nmin).
Talföljden, som från början finns i ett redigeringsfönster när du startar denna modul, är en formel i rekursiv form. Startvärdet är 4 och minsta värdet på n är 1, dvs. u(1) = 4. För att beräkna u(2) så sätter vi in 4 i formeln. u(2) = 0,3 * u(1) + 4. Vi får då resultatet 5,2. Sedan fortsätter man på samma sätt för att beräkna de följande termerna i talföljden. Vi ser att värdena på u för stabiliseras vid ca 5,71.
Du kommer tillbaka till redigeringsfönstret. Genom att klicka på knappen u(n)=… eller i den blå boxen uppe till höger.
Med knapparna”uppåtpil” resp. ”nedåtpil” kan du redigera om raderna i inmatningsfälten.
I menyn under Fil kan du hämta och spara formler.
Grafer och tabeller
Representationen av en formel kan vara en graf eller en tabell. Punkter i ett graffönster kan sammanbindas och du kan ändra färg. Du åstadkommer detta genom att högerklicka på formeln uppe till höger
I knappmenyn finns det också knappar för att mata in vanliga funktioner och kurvor i parameterform.
Parametrar
Du kan använda parametrar i formler för talföljder, funktioner och kurvor i parameterform. Det är ett sätt att göra dynamiska grafer.
Några exempel på talföljder
Exempel 1:
Summan av talen i den aritmetiska talföljden 1, 2, 3 … n kan beräknas både med en formel i sluten form och med en formel i rekursiv form. Mata in u(Nmin) = 1
Vi får talföljden 1, 3, 6, 10, 15 …. för både u och n.
Exempel 2:
Du har 100 000 kr som ger en ränta per år på 5 %. Efter 1 år tar du ut 1 000 kr, efter två år 2 000 kr, efter 3 år 3 000 kr osv. Hur mycket pengar har du efter 1 år, 2 år osv.
Mata in
u(n) = u(n-1)* (1+p/100) - 1000*n
u(Nmin) = 100000
Här har vi använt en parameter p för räntesatsen. Ställ in den så att räntan varierar mellan 3 % och 8 % och titta vad som händer med talföljden. När börjar det samlade kapitalet att minska vid olika räntesatser?
Exempel 3:
I en stad med 20 000 invånare har man två olika modeller för befolkningstillväxten. Man låter staden har en befolkningstillväxt på a %, där man undersöker tillväxten vid en befolkningsökning som ligger mellan 3 och 8 %. De två modellerna är vanlig exponentiell tillväxt resp. logistisk tillväxt. I den logistiska modellen antar vi att stadens befolkning inte kan överstiga 100 000. De två modellerna skrivs in i programmet så här:
u(n) = u(n-1) + a/100*(1-u(n - 1)/100000) * u(n - 1) (logistisk modell)
u(Nmin) = 20000
v(n) = v(n - 1)+ a/100 * v(n-1) (exponentiell model)
v(Nmin) = 20000
I den logistiska modellen minskar den årliga procentuella tillväxten hela tiden och befolkningen närmar sig så småningom 100 000. Hur lång tid det tar beror på vilken årlig befolkningstillväxt vi ställer in.
Exempel 4:
Fibonaccis berömda talföljd kan skapas med denna modul på följande sätt
u(n) = u(n - 1) + u(n - 2)
u(1) = 1
u(2) = 1
Det är viktigt att du ställer in Nmin till 1. Vi får följande talföljd:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 …, dvs. nästa tal i följden är alltid summan av de två föregående.